Acertijo: derivada y path integral
Acertijo: en que se parece una derivada a una path integral?
Respuesta: en su forma integral, $$f'(x)= \int \int e^{i \pi z (x-y)} {f(y) -f(x) \over y - x} dz dy$$ donde los dos terminos que aparecen son la conmutacion con la transformada de Hilbert y una fase que cae desde la delta:
f’(x)= (x-y) dy = = e^i z (x-y) dz dy
Corolario: En que se parece una regularizacion a una path integral? Pues lo mismo, pero en vez de poner (x−y) ponemos (x−y+ϵ).
Claro que ahora hay algyna diversion adicional, por ejemplo si definimos f′(x,y) = f′ϵ(x), con ϵ = y − x, entonces tenemos $$f'(v,w)=\int \int {f(y)-f(v) \over y-v} e^{i \pi z (w-y)} dy dz$$ que es un poco mas complicado y de momento a mi no me evoca nada
Posiblemente -vamos, casi seguro- sea mejor trabajar solo con ${f(x+\epsilon) - f(x) \over \epsilon} \delta(\epsilon)$, pero lo he puesto de esta forma para hacer explicita la conmutacion [F,f] de f con la transformada de hilbert, que es un elemento ya conocido del libraco de Connes, y que ya hemos encontrado otras veces en el grupoide.
Si ahora intentaramos "integrar" la derivada, digamos a orden epsilon, haciendo ∫f = ∑nf′(xn) = ∑nf′(x0+nϵ) entonces acumulariamos terminos exponenciales, pero lamentablemente irian sumandose, y no multiplicandose como seria lo adecuado para construir algo parecido a la exponencial de una integral.
Ya podeis imaginar que en ultima instancia de lo que se trata es de hacer este juego con la integral del lagrangiano, esto es, con la accion, y no con este ejemplito de la derivada. Es posible que en ese caso haya algun truco adicional que se pueda jugar. En fin, ya me direis si esta historia os sugiere algo, a mi me esta resultando agotadora cada parida, asi que se admiten ideas.
Naturalmente, ya me conoceis, voy haciendo en paralelo el documento "precocinado" donde acumulo las cosas que se me van ocurriendo, si alguien quiere echarle un vistazo... No se si esto es exactamente geometria no conmutativa, pero me da la impresion de que ilumina el problema de la cuantizacion en geometria no conmutativa. De alguna manera, la geometria de Connes hace a la vez las dos operaciones, cuantiza y descuantiza. Algo asi como cuantizar una teoria clasica y luego descuantizarla nos lleva a resolver la ecuacion del movimiento sin haber tenido que plantear siquiera la ecuacion diferencial de este. Es logico; Connes necesitaba una tecnica que le permitiera definir las ecuaciones de geometria diferencial en sitios donde no podia trabajar con diferenciales "a la Newton", y para ello el unico truco que se conoce es el de la fisica, meter cte de plank por en medio y a jugar.
....(a partir de aqui va una FLAME que os ahorro)
En otro orden de cosas, me deprime un cuantico -aragonesismo, sin alusion plankiana alguna- cuando no os apetece echar un reply a estos emails parciales. Si estais esperando a ver algo completo, vamos aviados, en solitario y a tiempo parcial todo esto me viene demasiado grande -y jesus y eduardo bien liados andan con sus respectivas tesis, ya les vale con eso-.
No os interesa si se puede o no jugar con campos y renormalizacion en este asunto? Pues no entiendo por que no, a no ser que esteis intimamente convencidos de que por la via matematica no se puede llegar a ningun resultado de aplicacion fisica -en cuyo caso apaga y vamonos-. No entiendo tampoco que ha ocurrido con las ganas de estudiar el grupoide, es como si hubieramos empezado queriendo entender de geometria no euclidea y para ello no hubieramos tenido otra salida que construir un embedding en una euclidea de dimension superior, menuda vision geometrica tenemos asi. Entiendo que no son cosas para meterse cuando de lo que se trata es de ir sacando articulos publicables para construir un curriculum, pero desafortunadamente esta necesidad ya no es cierta en mi caso.
El caso es que me apetecia tener algo si no solido al menos liquido para hablar en Vietri, y me interesaria en serio que le echaseis un vistazo a lo que estoy intentando contruir y me dierais alguna idea, o un argumento contundente de por que estoy pensando estupideces. Cuanto mas haga en solitario, mas me ire saliendo del tiesto, eso es inevitable. Que diablos, os mando ahora lo poco que he ido anotando en plan agenda, para que veais por donde podrian ir los tiros. Un saludo,
Alejandro