Ejercicio de geocentrismo
Utilizaremos en este ejercicio un sistema geocentrico, esto es la tierra en el centro, con su eje de rotacion vertical, y el sol a su alrededor, tardando un año en trazar un circulo perfecto inclinado 23 grados respecto al ecuador de la rotacion terrestre.
Lo primero, la altura del sol a mediodia.
En el primer dia de primavera, el sol esta justo vertical sobre el ecuador. Lo tomamos como origen de dias, de forma que el circulo solar ira trazando en su ecliptica un vector de coordenadas
(COS(360* dia/365.25), SEN(360* dia /365.25), 0)
donde los dias se contaran transcurridos desde el primero de primavera, digamos el 21 de marzo. El factor de conversion es 360/365.25= 0’986
Transcurridos tres meses, el sol no esta ya vertical sobre el ecuador, y aparece vertical sobre un trópico, de ahi baja a estar vertical sobre el ecuador de nuevo, en la entrada del otroño, y sigue hasta el otro tropico. Para reflejar todo esto rotanos el plano del sol unos 23 grados, con lo que la posicion queda:
(COS(0’986*ndia), COS(23)*SEN(0’986*ndia) , SEN(23) SEN(0’986*dia))
La elevacion de un vector (x,y,z) con respecto al plano (x,y) es el dato que buscamos, llamemosle alt_ec ya que es la altura sobre el ecuador. Midamoslo desde la vertical, con lo que cumplira:
COS(alt_eq) = raiz (x^2+y^2) / raiz( x^2+y^2+z^2) = raiz (x^2+y^2), ya que nuestros vectores son unitarios.
podemos usar tambien TG(alt_eq) = z / raiz(x^2+y^2)
Ysando la tecla de ACOS (o INVCOS) o ATAN (o INVTG) despejamos la equacion. Por ultimo, la altura en nuestra posicion no sera la del ecuador, sino que dependera de nuestra latitud. Un simple dibujo, considerando que los rayos del sol caen paralelos en toda la tierra, nos deja claro que (nuevamente midiendo desde la vertical):
alt_local=alt_eq-latitud=ACOS(raiz(COS^2(0.986 * ndia)+COS^2(23)* SEN^2(0’986 * ndia))) – 41 seria la formula para algun lugar de la peninsula iberica. Como la altura ecuatorial varia desde –23 a 23 grados, pues resulta que la altura local en España da siempre negativo. Esto es, el sol de mediodia esta siempre al sur.
Segunda parte: si sabemos la altura local a mediodia, ¿cuanto durara este dia?
Los limites del dia son las horas en las que el sol llega paralelo a la superficie, luego perpendicular a nuestro vector posicion local, que es nuestra vertical terrestre. Busquemos un sistema comodo de coordenadas. Por ejemplo dibujemos uno tal que nuestra posicion local sera, contada en horas desde el mediodia
(cos(latitud) cos(360*horas/24), cos(latitud) sen(360*horas/24), sen(latitud) )
Los rayos del sol entran en este sistema desde la direccion
( cos(alt_eq) , 0 , sen(alt_eq))
La condicion de amanecer/anochecer sera el producto de ambos vectores.
cos(alt_eq) cos(latitud) cos (15 * hora) + sen (alt_eq) sen (latitud) = 0
luego con la calculadora hay que despejar la ecuacion
cos (15*hora) = - tg(alt_eq) * tg (latitud)
Si escribimos el segundo termino como tg(latitud)/tg(90-alt_eq) vemos que para que el valor absoluto no sobrepase la unidad la suma de alt_eq y latitud debe ser menor de 90 grados, caso contrario el sistema no tiene solucion. Ello corresponde a las latitudes elevadas donde el sol no se pone algunos dias del año.
post-ejercicio: ¿como se puede perfeccionar el sistema?
-elipticidad de las orbitas
-el sol se mueve un poquito mientras la tierra gira.
-refraccion optica en la atmosfera
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