Metamorfosis reversibles
“Mia es la voz antigua de la tierra” (Leon Felipe)
METAMORFOSIS REVERSIBLES.
¿Se me disculpa el exotismo del título? Viene a ser algo muy común en matemáticas tomar un nombre y añadile un significado esoterico muy concreto; luego se hacen afirmaciones válidas solo para tal significado y se arriesga así que los circulos de divulgación y exotericos varios las crean válidas para todas las notas de tal nombre.
En este caso vamos a hablar de “equivalencias” y “clases de equivalencia”. No es un apartado de la lógica, como podeis intuir si ya habeis echado un vistazo a la guia de lectura. Pero clasificar cosas no debe tampoco andar muy lejos de las tareas del lenguaje, así que parece apropiado echarle un vistazo a como lo hacen las ciencias formales por si a alguno le sirve de inspiración.
La técnica que se emplea no aspira a ennumerar completamente los componentes de un agregado o conjunto cualquiera y luego dividirlas; tal tarea podría ser imposible. Lo que se hace es establecer reglas de que relacionan unos elementos con otros. Así, decimos que la fraccion 3:4 es equivalente a cualquiera que se obtenga multiplicando (o dividiendo si se pudiera) ambos numeros por uno cualquiera, esto es que 3:4 puede transformarse en 6:8, 9:12, 30:40 etc.
Vamos a ver esto en detalle.
Supongase un tipo de transformaciones tal que si esta cosa puede transformarse en esta otra, y esta otra en una tercera cosa, entonces es siempre cierto que lo primero puede transformarse en lo tercero. Interesarse por ejemplos de tal ley de composicion es hoy norma principal de las ciencias matemáticas, al menos de las “modernas” que crecierón desde la revolución de Bourbaki. Y alguna rama hay que se limita a estudiar las consecuencias de esta sola ley.
Más las metamorfosis más convenientes son las que ademas son reversibles: Que siempre que una cosa pueda transformarse en otra, sea tambien posible que esta ultima se transforme en la primera.
Una tercera propiedad, la de identidad, surge de las otras dos: Se espera que siempre sea posible transformar un objeto en si mismo. Viene esto de que si se da que la transformación es simetrica (segunda propiedad) y componemos ambas transformaciones, la de una cosa en la otra y la de esta segunda de nuevo en la primera, esta primera es la tercera de la ley de composición, y por ello debe existr al menos una transformación de la primera en si misma.
Esta transformacion “identica” es un elemento neutro en el encadenamiento de transformaciones. Considerese una transformacion “u” yendo del objeto A al objeto B. (escribimos u: A-->B). Las transformaciones correspondientes a la identidad en A y B (escribimos id(A): A-->A e id(B): B-->B) pueden encadenarse con u sin alterarla, esto es u.id(A) = u = id(B).u (es usual escribir la composicion en direccion contraria a la de lectura, asi que u.id(A) es A-->A-->B, e id(B).u es A-->B-->B).
Claramente, ante una reunion de objetos con capacidades para metamorfosearse de forma reversible, podemos interesarnos en dos aspectos: bien por este proceso de composicion de las transformaciones, bien por las subfamilias de objetos que puedan cambiarse unos en otros. La reunion, con sus leyes de transformacion, recibe el nombre de “grupoide”. Las subfamilias son las conocidas “clases de equivalencia”.
Una razón para interesarse por el proceso de composición es que en un grupoide generico no tiene por que haber, para un par de objetos dados, una sola forma de transformar uno en otro (una sola “flecha”, se dice). Sí que ocurre que cuando hay varias flechas entre el mismo par de puntos hay que ser un poco más sutil. Se exige aún que exista para cada elemento A una unica flecha id(A) que sea neutra repecto al encadenamiento que deciamos hace un par de parrafos, sin perjuicio de que haya otras flechas A-->A que ya no han de ser neutras. La propiedad de simetria se predica respecto de las flechas neutras: Para cada flecha u:A-->B debe existir otra flecha, digamos v, entre B y A, tal que v.u=id(A) y u.v=id(B).
De todas formas, en muchos ejemplos comunes ocurre que hay una sola flecha por cada par de puntos. Asi ocurria con las fracciones que veiamos al principio, y asi ocurre con los llamados “vectores afines”, pares de puntos en un espacio, que son el modelo base para la teoria del movimiento: Un “movil en el punto A” se transforma en un “movil en el punto B”, y esto es el vector AB.
Fijaos que en el caso de las fracciones, lo que se obtiene al hacer la equivalencia es otra reunion de objetos con ciertas propiedades que se preservan en la equivalencia. En cambio, en otros casos la equivalencia da cosas de poco interes: por ejemplo el grupoide de vectores afines, si lo usaramos para construir clases de equivalencia, nos daria un conjunto con un solo elemento. He aqui pues otro motivo por el que es interesante estudiar las tranformaciones además de las clases de equivalencia obtenidas, pero disculpadme que no siga más por este camino, que mis propios gustos llevarian a complicados productos de matrices y algebras.
Vamos en cambio a dar un par de vueltas más a las clases de equivalencia. Veamos primero un ejemplo con un numero finito de elementos: las fichas de un dominó. Coloquense estas en posición horizontal y de manera que el cuadro de la izquieda no tenga menos puntos que el de la derecha. Decimos que hay una flecha entre dos fichas si al sumar o restar el mismo numero de puntos a cada cuadro de una ficha se obtiene la otra.
Es fácil ver que esta construcción de flechas construye siete clases aisladas entre si, que serán las clases de equivalencia dadas por esta relación. En cada una de ellas hay un sola ficha con el blanco en el cuadro derecho, de forma que bien podemos etiquetar a cada clase con el valor del cuadro izquierdo de esta ficha. Puede interpretarse como si hubieramos extraido los componentes 0,1,2...6 de los cuadros del domino sin dividir realmente las fichas, simplemente ordenandolas en clases.
Notad tambien que si no hubieramos fijado la orientacion de las fichas simplemente habriamos tenido que usar un grupoide mas grande, donde los giros de una ficha serian flechas de esa ficha en si misma.
Además, en esta clasificación del dominó hemos empleado diferencias de números, lo que es interesante porque así es los mátematicos, como se explicaba en la escuela, construyen varias series de números a partir de los llamados naturales. Recordemoslo en un pis pas:
Se llama Naturales al uno y sucesivos 2,3,4,... (lo de usar “sucesivos” es la aproximación axiomática de Peano. Hay más variantes, por ejemplo los pitagóricos se dice que partian de la distinción entre par e impar, entre 2 y 3). En el conjunto de pares ordenados de numeros naturales (que se escribe tradicionalmente NxN, y el imponer orden implica que el elemento, digamos, 3!4 es diferente del 4!3) se define que dos pares son equivalentes si al sumar o restar la misma cantidad a uno de ellos resulta el otro. Las clases de equivalencia asi obtenidas, donde por ejemplo el par 3!1 es diferente del 1!3 pero equivalente al 4!2, se llaman numeros “Enteros” (se escribe Z). La suma de dos numeros enteros es simplemente la suma de las parejas correspondientes, y es invariante bajo la ley de equivalencia. Esto es, 1!4 + 4!1 da 5!5, y por ejemplo la suma transformada 1!4 + 5!2 da 6!6, que es un transformado del resultado anterior, 5!5.
Paralelo al caso del dominó, etiquetamos las clases. A la que contiene pares iguales la llamamos “0”. A la que contiene algun par A!1 le asignamos el numero natural anterior al A. Y a las que contienen algun par 1!A le asignamos el numero natural anterior al A, pero anteponiendole un signo “-“. Para que esta asignacion sea consistente con las operaciones entre numeros naturales, se define que la siguiente de una pareja A!B es la (A+1)!B. Esto, claro, es equivalente a sumar la pareja 2!1
Nuestro primer ejemplo era similar, pero construia la parte positiva de los numeros racionales (ie, que son razón de dos naturales). Las fracciones son NxN bajo la equivalencia de multiplicar o dividir por la misma cantidad. Se puede hacer lo mismo con ZxZ, definiendo las flechas como multiplicaciones por enteros diferentes del cero –y aqui ya se ve la anomalia que el cero constituye, pero eso es otro tema- y excluyendo de los numeros la clase unimembre (0:0) y la constituida por (1:0, -1:0, 2:0, -2:0...) Un tal Groethendiek, el matemático mas oscuro del siglo XX, generalizo esta construcción para otros conjuntos, pero con dos ejemplos a nosotros nos basta.
Y para terminar, una tecnica de equivalencia para hacer operaciones ciclicas. Digamos que dos numeros naturales son equivalentes si difieren en un multiplo de 12 y definamos la suma de la forma habitual. El resultado son doce clases de equivalencia, y la (12,24,36,...) tiene propiedades parecidas a las del cero, sin serlo. En el continuo esta técnica genera las llamadas figuras “toroidales”: Definase que dos coordenadas (x,y) son equivalentes si difieren en sumar o restar a ambos componentes un numero natural. Por ejemplo, (0’1,0’5) seria equivalente a (1’1,1’5), (2’1,2’5) etc. Las clases de equivalencia obtenida forman un cuadrado con los lados pegados entre si, el de la derecha al de la izquieda y el de arriba al de abajo, siendo entonces igual que la superficie de una idealizada rosquilla.
Y ya que he sido suficientemente prolijo para resultar pesado, dejadme colmar el vaso con la admonición que empeze: Tengase bien cuidado de no confundir los razonamientos con las alegorias. El uso alegorico de un razonamiento matemático o natural es frecuente, quizas en principio por aprovechar la fuerza de este, y luego la alegoria puede enraizar por si misma y crecer ya separada del origen. Por ejemplo, una observacion sobre el ciclo de evaporacion del agua,, formacion de nubes y lluvia, etc, resumida como “lo que esta arriba es como lo que esta abajo” y algunas precisiones mas sobre la energia que se toma y se suelta, puede acabar siendo una tabla de enseñanzas misticas totalmente independiente. Nada a objetar en cuanto a la tabla en si; lo inadecuado es que, quedando incompleto el proceso de separacion, se pretenda que el metodo y meditaciones correspondientes a tal tabla guarden alguna relacion con el razonamiento original. De como las matematicas torean con estos problemas y de otras peculiaridades de su vocabulario, quizas entraremos con más detalle algun otro dia.
rivero @ wigner.unizar.es