Sobre la topología de la esfera y el límite a infinito
El punto con la famosa topologia de la esfera... es que si
tomamos mal el limite a infinito pues acabamos con una esfera
de curvatura cero, lo cual es de relevancia bastante dudosa, ya que
se supone que los efectos topologicos son validos en CUALQUIER objeto
que tenga esa topologia, y no solo en uno tan peculiar como una esfera
de radio infinito.
El punto es que al hacer el block spin, o lo que sea que lleve la
lattice al continuo, hay que controlar las distancias. El nuevo
tamaño del reticulo no sera simplemente dividir por dos, sera una
funcion del tamaño anterior Y DEL RADIO. Esto se puede imaginar
ya en el caso unidimensional, y eso a pesar de que en este caso
la curvatura no es intrinseca. Pero haciendo la construccion de
arquimedes para la circunferencia, vemos ya que una lattice de
tamaño $a$ dara, en el siguiente paso, una lattice de
tamaño ( 2R^2 (1-(1-(a^2/4R^2))^.5))^.5, que solo es de tamaño a/2
cuando R vale infinito. En el caso de la esfera, tres cuartos de lo
mismo, solo que metiendo ahora la curvatura K, que es cte e
intrinseca. No es descartable que pudiera haber
cambios de comportamiento dependiendo del valor de K.
De paso, este ejemplo nos vale para entender la diferencia entre
el toro y la esfera. El punto es que en el circulo si que hay un
sistema de coordenadas en el que duplicar los puntos es dividir
por la mitad las distancias, y es simplemente el usar el angulo
como coordanada, o la longitud del arco, que es lo mismo. Esto es
aplicable al toro, que es producto de dos circulos, y precisamente
por esto es por lo que se dice que el toro es "plano", no tiene
curvatura. Pero en cambio la esfera si que es curva, no es desarrollable
en el plano, que decian los antiguos, y no podemos poner un sistema
de coordenadas en el que se haga esto.
Total, que en que se traduce todo esto? Pues en que en tu articulillo
hay que tener, en mi opinion, un poco de cuidado, y tener en cuenta
que segun el tamaño de la lattice va aumentando de puntos, 3,4,6,12, etc,
la distancia de verdad no va cambiando con a/3, a/4, a/6, a/12, sino que hay
que buscarse otra formulilla para todas las cuentas en las que entre a.
Posiblemente esto no te saque de la clase de universalidad, pero hay que
ir con tiento.